概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

第一节 随机试验与随机事件

1. 随机试验

• 可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行
• 多结果性：每次试验都有多个可能的结果（不唯一），并且在试验之前能够明确所有可能的结果
• 不确定性（随机性）：每次实验之前不能确定哪一个结果会出现

满足上诉三个特点的试验称为随机试验（简称试验），用E表示

2. 样本空间

试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为$\mathrm{\Omega }$（或S），样本空间的元素（即E的每个结果），称为样本点，记作$\omega$。

3. 随机事件

• 随机事件（简称事件）：试验E的样本空间$$的子集称为E的随机事件，通常用A，B，C等表示
  
• 事件A发生：属于事件A的任一样本点出现
  
• 基本事件：由一个样本点组成的单点集$$试验E的最基本可能的结果
  
• 必然事件：样本空间$$（全集）$$ 每次试验都必然发生的事件
  
• 不可能事件：空集$$（不包含任何样本点）$$每次试验都不发生

且$$$$A$$$$

4. 事件之间的关系与事件的运算

必然事件与集合的对应关系如下：

• 必然事件$$样本空间$$（全集）；
• 基本事件$$样本事件$$（单点集）；
• 随机事件$$$$的子集；
• 不可能事件$$空集$$​

定义

1. 包含：A$$B$$事件A发生必然导致B发生

2. 事件的并（和）：A$$B(A+B)$$​A,B至少发生一个

3. 事件的交（积）：A$$B(AB)$$A,B同时发生

4. 事件的差A-B$$A发生而B不发生

   • $$

5. 互不相容（或互斥）：AB=$$$$A与B不能同时发生

6. 对立事件（或逆事件）：A$$B=$$且A$$B=$$$$A与B护卫对立事件

7. 完备事件组：$$,$$,$$,$$满足 $$

则称$$构成完备事件组，也称$$,$$,$$,$$是样本空间的一个划分

事件的交换律

1. 交换律：$$;$$
2. 结合律：$$;$$
3. 分配律：$$;$$
4. 自反律：$$
5. 对偶律：$$;$$

第二节 频率与概率

1. 频率

定义：在相同的条件下，进行$$次试验，其中事件$$发生了$$次，则$$发生的频率定义为： $$ 性质： $$ 频率的稳定性：随着试验次数$$增大，频率$$逐渐稳定于某个常数$$，这种“频率的稳定性”，即通常所说的统计规律性，频率的稳定值$$为事件$$的概率，此即概率的统计定义

2. 概率

定义：设E是随机事件，，$$是其样本空间，对于E的每一事件$$赋予一个实数，记作$$，称为事件A的概率，且集合函数$$满足 以下条件： $$ 性质：

1. $$.反之不成立，即$$

2. （有限可加性）$$

   $$与$$互不相容$$$$

3. 对于任一事件A，有$$或$$

4. $$

5. $$

6. $$

7. $$

8. $$

第三节 古典概型和几何概型

1. 古典概型（等可能模型）

$$

$$

2. 几何概型

$$

第四节 条件概率与乘法公式

1. 条件概率

定义1：$$发生时$$再发生：$$

定义2：$$

性质1：$$

性质2：$$​

性质3：$$

2. 乘法公式

定理：设$$、$$为两事件，则$$或$$

第五节 全概率公式与贝叶斯公式

1. 全概率公式

$$

定理1：设事件$$是试验E的一个完备事件组（也叫样本空间$$的一个划分），且$$​,则对于E的任意事件B，有： $$

2. 贝叶斯公式

定理2：设$$为试验E的一个完备事件组，B为E的任一事件，且$$，$$，则 $$

第六节 事件的独立性与伯努利概型

1. 事件的独立性

定义1：设$$是试验E的两个事件，若$$，则称事件B对于事件A独立 $$ 事件A对于事件B独立$$ $$

由$$

定义2：设$$是两事件，若$$，则称事件A与事件B相互独立