概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

第一节 随机试验与随机事件

1. 随机试验

• 可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行
• 多结果性：每次试验都有多个可能的结果（不唯一），并且在试验之前能够明确所有可能的结果
• 不确定性（随机性）：每次实验之前不能确定哪一个结果会出现

满足上诉三个特点的试验称为随机试验（简称试验），用E表示

2. 样本空间

试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为\(\Omega\)（或S），样本空间的元素（即E的每个结果），称为样本点，记作\(\omega\)。

3. 随机事件

• 随机事件（简称事件）：试验E的样本空间\(\Omega\)的子集称为E的随机事件，通常用A，B，C等表示
  
• 事件A发生：属于事件A的任一样本点出现
  
• 基本事件：由一个样本点组成的单点集\(\Leftrightarrow\)试验E的最基本可能的结果
  
• 必然事件：样本空间\(\Omega\)（全集）\(\Leftrightarrow\) 每次试验都必然发生的事件
  
• 不可能事件：空集\(\Phi\)（不包含任何样本点）\(\Leftrightarrow\)每次试验都不发生

且\(\Phi\)\(\subset\)A\(\subset\)\(\Omega\)

4. 事件之间的关系与事件的运算

必然事件与集合的对应关系如下：

• 必然事件\(\leftrightarrow\)样本空间\(\Omega\)（全集）；
• 基本事件\(\leftrightarrow\)样本事件\(\omega\)（单点集）；
• 随机事件\(\leftrightarrow\)\(\Omega\)的子集；
• 不可能事件\(\leftrightarrow\)空集\(\Phi\)​

定义

1. 包含：A\(\subset\)B\(\Leftrightarrow\)事件A发生必然导致B发生

2. 事件的并（和）：A\(\cup\)B(A+B)\(\Leftrightarrow\)​A,B至少发生一个

3. 事件的交（积）：A\(\cap\)B(AB)\(\Leftrightarrow\)A,B同时发生

4. 事件的差A-B\(\Leftrightarrow\)A发生而B不发生

   • \(A-B=A-AB=A\overline{B}\)

5. 互不相容（或互斥）：AB=\(\Phi\)\(\Leftrightarrow\)A与B不能同时发生

6. 对立事件（或逆事件）：A\(\cup\)B=\(\Omega\)且A\(\cap\)B=\(\Phi\)\(\Leftrightarrow\)A与B护卫对立事件

7. 完备事件组：\(A_1\),\(A_2\),\(\dots\),\(A_n\)满足 \[ \begin{cases} A_i\cap A_j=\Phi,\forall i \neq j,\\ \sum_{i=1}^n A_i=\Omega \end{cases} \]

则称\(A_1,A_2,\dots,A_n\)构成完备事件组，也称\(A_1\),\(A_2\),\(\dots\),\(A_n\)是样本空间的一个划分

事件的交换律

1. 交换律：\(A\cup B=B\cup A\);\(A\cap B=B\cap A\)
2. 结合律：\((A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\);\((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\)
3. 分配律：\((A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C)\);\((A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)\)
4. 自反律：\(\overline{\overline{A}}=A\)
5. 对偶律：\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\);\(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)

第二节 频率与概率

1. 频率

定义：在相同的条件下，进行\(n\)次试验，其中事件\(A\)发生了\(n_A\)次，则\(A\)发生的频率定义为： \[ f_n(A)=\frac{n_A}{n} \] 性质： \[ \begin{cases} (1) 0\leq f_n(A)\leq 1;\\ (2) f_n(\Omega)=1;\\ (3)A_1,A_2,\dots ,A_k两两互斥\Rightarrow f_n(\sum\limits_{i=1}^{k}A_i)=\sum\limits_{i=1}^kf_n(A_i) \end{cases} \] 频率的稳定性：随着试验次数\(n\)增大，频率\(f_n(A)\)逐渐稳定于某个常数\(p\)，这种“频率的稳定性”，即通常所说的统计规律性，频率的稳定值\(p\)为事件\(A\)的概率，此即概率的统计定义

2. 概率

定义：设E是随机事件，，\(\Omega\)是其样本空间，对于E的每一事件\(A\)赋予一个实数，记作\(P(A)\)，称为事件A的概率，且集合函数\(P(·)\)满足 以下条件： \[ 三公理\begin{cases} (1)非负性：对于每一个事件A，P(A)\geq 0;\\ (2)规范性：对于必然事件\Omega ,P(\Omega)=1;\\ (3)可列可加性：A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots两两互不相容，有P(\sum\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)\\ \end{cases} \] 性质：

1. \(P(\Phi)=0\).反之不成立，即\(P(A)=0\nRightarrow A=\Phi\)

2. （有限可加性）\(A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots两两互不相容\Rightarrow P(\sum\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)

   \(A\)与\(B\)互不相容\(\Rightarrow\)\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)

3. 对于任一事件A，有\(P(\overline{A})=1-p(A)\)或\(P(A)+P(\overline{A})=1\)

4. \(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)

5. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

6. \(P(\overline{A}\cup\overline{B})=P(\overline{AB})\)

7. \(C_n^m=\frac{P_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

8. \(C_n^m=C_n^{n-m}\)

第三节 古典概型和几何概型

1. 古典概型（等可能模型）

\[ 特征=\begin{cases} 有限性\\ 等可能性\\ \end{cases} \]

\(P(A)=\frac{m}{n}\)

2. 几何概型

\[ \mu (\Omega)=\begin{cases} 长度(一维线段)\\ 面积(二维平面区域)\\ 体积(三维空间立体)\\ \end{cases} \]

第四节 条件概率与乘法公式

1. 条件概率

定义1：\(A\)发生时\(B\)再发生：\(P(B\mid A)\)

定义2：\(P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)

性质1：\(P(\Phi\mid A)=0\)

性质2：\(P(B_1\cup B_2\mid A)=P(B_1\mid A)+P(B_2\mid A)-P(B_1B_2\mid A)\)​

性质3：\(P(B\mid A)+P(\overline{B}\mid A)=1\)

2. 乘法公式

定理：设\(A\)、\(B\)为两事件，则\(P(AB)=P(A)P(B\mid A) P(A>0)\)或\(P(AB)=P(B)P(A\mid B)\)

第五节 全概率公式与贝叶斯公式

1. 全概率公式

\[ \boxed{P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)(B|A_3)+\dots +P(A_n)P(B|A_n)} \]

定理1：设事件\(A_1,A_2,\dots ,A_n\)是试验E的一个完备事件组（也叫样本空间\(\Omega\)的一个划分），且\(P(A_i)>0(i=1,2,\dots ,n)\)​,则对于E的任意事件B，有： \[ P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)(B|A_3)+\dots +P(A_n)P(B|A_n) \\ =\sum\limits_{i=1}^n A_iP(B|A_i) \]

2. 贝叶斯公式

定理2：设\(A_1,A_2,\dots ,A_n\)为试验E的一个完备事件组，B为E的任一事件，且\(P(A_i)>0(i=1,2,\dots ,n)\)，\(P(B)>0\)，则 \[ P(A_k|B)=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}=\frac{P(A_kB)}{P(B)} ,k=1,2,\dots,n \]

第六节 事件的独立性与伯努利概型

1. 事件的独立性

定义1：设\(A,B\)是试验E的两个事件，若\(P(B|A)=P(B) (P(A)>0)\)，则称事件B对于事件A独立 \(\stackrel{若P(B)>0)}{\Rightarrow}\) 事件A对于事件B独立\(\Leftrightarrow\) \(P(A|B)=P(A)\)

由\(P(B|A)=P(B)\stackrel{P(A)>0}\Leftrightarrow \frac{P(AB)}{P(A)}=P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)*P(B)\)

定义2：设\(A,B\)是两事件，若\(P(A|B)=P(A)P(B)\)，则称事件A与事件B相互独立